El cambio de variable de Monty Hall

Conocí el problema de Monty Hall al leer el libro El misterioso caso del perro a medianoche, de Mark Haddon (muy recomendable). Sin embargo no ha empezado a suscitar interés entre el gran público hasta que fue mencionado en la película 21 Blackjack. A raíz de esa película, Laura me pidió que se lo explicase de un modo didáctico ya que lo cierto es que no es fácil de hacerse con él, ni en el libro ni en la película.

El problema original se basa en un concurso de televisión en el que al concursante se le ofrecen 3 puertas. Tras dos de ellas, hay una cabra, y tras una de ellas hay un coche. Así las cosas, las probabilidades de llevarte el coche son de 1/3 mientras que las probabilidades de llevarte a casa una cabra son de 2/3. El concursante elige, y acto seguido, el presentador, que sabe dónde está el coche, abre una puerta que detrás tiene una cabra y te da la opción de elegir otra puerta. Llegados a este punto, dado que sólo quedan dos puertas cerradas, una de las cuales contiene cabra, y otra el coche, la mayoría de la gente estima que las probabilidades de acertar con la del coche son del 50%, por lo que no hay una clara ventaja en cambiar de puerta.Y esto es así. Efectivamente, con una puerta abierta, las posibilidades de llegar al coche son del 50%. Lo que la mayoría de la gente olvida es la probabilidad con la que se llegó a la situación actual, que no era del 50%.

Lo cierto es que el presentador sabe dónde está el coche al abrir la puerta de la cabra y ofrecer el cambio. Y esto es lo que hace que se invierta la probabilidad.

Volvamos al principio: El presentador ofrece una puerta, y elegimos una al azar. Tenemos 2/3 de tener una cabra en nuestra puerta. En este momento, lo más probable es que tengamos una cabra en nuestra puerta (2 a 1 contra el coche), por lo que como el presentador abre otra puerta con cabra, en esa misma proporción (2 a 1) ganaríamos el coche cambiando de puerta. Sólo en el minoritario caso (1 de cada 3) de que hubiésemos acertado a la primera con el coche, perderíamos el coche al cambiar de puerta. De modo que de cada 3 veces que jugásemos, cambiar de puerta nos garantizaría el coche en 2 de cada 3 jugadas, ya que en 2 de cada 3 jugadas habríamos elegido cabra, y cambiado a coche.

Por si quedan dudas, vamos a verlo de forma gráfica.

• Puerta 1: Cabra A
• Puerta 2: Cabra B
• Puerta 3: Coche

Entendiendo que es igual de malo llevarse la cabra A o la cabra B je je :D

• Posibilidad 1: Elegimos la Puerta 1. El presentador abre la puerta 2 (cabra). Si cambiamos (a la puerta 3), nos llevamos el coche. Si no, nos quedamos con una cabra (la B).
• Posibilidad 2: Elegimos la Puerta 2. El presentador abre la puerta 1 (cabra). Si cambiamos (a la puerta 3), nos llevamos el coche. Si no, nos quedamos con la cabra A.
• Posibilidad 3: Elegimos la Puerta 3. El presentador abre una puerta con cabra (nos da igual cuál). Si cambiamos, nos llevamos la cabra. Si no, nos quedamos con el coche.

Como se ve, en 2 de los 3 casos, cambiar nos garantiza el coche, y sólo en 1 de cada 3, ganaríamos el coche quedándonos con la puerta elegida originalmente. 1 de cada 3, que es la opción de ganar el coche a la primera. Es decir, en 2 de cada 3 intentos, al elegir puerta con cabra, estás forzando al presentador a poder abrir una única puerta con cabra, por lo que te está dejando como opción la del coche.

Conclusión. Cambiar de puerta es más ventajoso en 2 de cada 3 juegos.